SEMANA 32

9 AL 13 DE OCTUBRE

2) Ecuaciones multiplicativas: a • x = b

Para resolver ecuaciones de la forma a · x = b se aplica la propiedad de las igualdades , que dice textualmente:

Si se multiplica o divide por un mismo número a ambos lados de la igualdad, ésta se mantiene.

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número.

Los pasos son los siguientes:

1) Se divide siempre por el número que multiplica a la “x”. (Al dividir se utiliza el inverso multiplicativo del número).

Ejemplo:    15 • x   =   75  /  :15   (es lo mismo que multiplicar ambos miembros por 1/15, que es el inverso multiplicativo de 15)

15 • x : 15   =   75  : 15

2) Se realizan las operaciones matemáticas correspondientes.

Reordenado los números se tiene:    15 : 15 • x  =   75  : 15

1 • x     =    5

x     =     5

Otro ejemplo:

3 • x   =   81

3 • x  =    81  /  : 3

3 • x : 3  =    81  : 3

3 : 3 • x  =    27

1 • x   =    27

x   =    27

¿ Qué sucede si se combinan ambos tipos de ecuaciones: aditiva y multiplicativa ?

Ejemplo:                              2x  +  2  +  3  =   4x  –  1

Para resolver este tipo de ecuación, lo primero que debe hacerse es efectuar las operaciones entre términos semejantes en ambos miembros de la ecuación; es decir, a la izquierda y a la derecha.

Esto significa sumar números con números y factores literales con factores literales ( letras iguales, exponentes  iguales); en este ejercicio esto significa sumar los números con los números y las “equis” con las “equis”. En el caso particular de nuestro ejemplo, a la izquierda se  pueden sumar los números 2 y 3 solamente, pues no hay más términos semejantes

2x   +   5    =    4x   –   1   / –5

A continuación se debe sumar a ambos lados de la ecuación el inverso aditivo del número que suma o resta a la incógnita, en este caso se debe sumar el inverso aditivo de 5 ( -5 ) a la izquierda y a la derecha de la igualdad.

2x    +   5  + –5 =    4x   -  1  + –5

2x  +   0     =    4x    +    –6

2x     =    4x    +   –6

Luego, debe sumarse el inverso aditivo de 4x para lograr que el número 4x que está a la derecha quede a la izquierda de la ecuación; de esta forma los dos números con “equis” podrán reducirse.

2x     =   4x    +  –6  / – 4x

2x  + – 4x =   4x    +  –6   + – 4x

– 2x   =   4x    + – 4x + –6

– 2x      =    0  +  –6

– 2x       =  –6

Cuando se tiene una ecuación de esta forma, en la cual un número se halla multiplicando a la incógnita, se debe dividir a ambos lados de la ecuación por dicho número, en este caso se debe dividir por – 2. Fíjate que la ecuación es ahora multiplicativa, por lo tanto se usa el método par resolver ecuaciones multiplicativas (por eso se divide por –2).

– 2x  : – 2 =  –6  : – 2

1x      =      3

x    =    3

Otro ejemplo:

5x – 3  =  2x + 6

1)   Se   suman o restan números con números y  letras con letras en cada miembro de la ecuación. Como no hay términos semejantes en este caso, se continúa con el segundo paso.

5x – 3 + + 3  =  2x  + 6 + + 3 / +3

5x + 0 =  2x  +  9

2)   Sumar el inverso aditivo (sumar a ambos lados de la ecuación el número que resta o suma a la “x”)

5x    =  2x  +  9

Ahora falta sumar el inverso aditivo de 2x (-2x)

5x + – 2x =  2x + – 2x + 9  /–2x

3x   =   0 + 9

3x   =   9

3)  Dividir a ambos lados de la ecuación por el número que acompaña a la incógnita (3). Inverso  multiplicativo.

3x  ÷ 3 =    9 ÷ 3

3  ÷ 3x      =   9  /  3  (Recuerda que el símbolo de división, ÷,  también se puede representar como /).

x       =    3

Nota : Todas las ecuaciones vistas hasta ahora son de Primer Grado (el exponente de la incógnita es 1) y pertenecen al Conjunto de los Números Enteros (los coeficientes numéricos son números positivos y negativos). Más adelante se estudiará la forma de resolver ecuaciones en el Conjunto de los Números Racionales.